Taux d'évolution moyen

Définition

Soit une quantité qui subit \(n\) évolutions successives de taux  \(t_1\% , t_2\%, \dots , t_n\%\).
On note \(\text{CM}_{\text{global}}\) le coefficient multiplicateur global associé.
Alors le taux d'évolution moyen \(t_{moyen}\) est solution de l'équation \(\left( 1+\dfrac{t_{moyen}}{100}\right)^n = \text{CM}_{\text{global}}\).
Propriété

Soit \(a\) un réel strictement positif et \(n\) un entier naturel non nul. On a alors \(x^n=a \Leftrightarrow x=a^{\frac{1}{n}}\).

Exercice

Dans cet exercice, on arrondira les résultats à 0,01% près.

1. Un exemple
On considère une hausse de 15 % puis une baisse de 2 %.
    a. Déterminer le taux d'évolution global.
    b. On appelle taux moyen, \(t_{moyen}\) le taux qu'il faudrait appliquer 2 fois de suite afin de retrouver le taux d'évolution global.
Pour trouver \(t_{moyen}\), résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation suivante d'inconnue \(t_{moyen}\).
\(\left(1+\dfrac{t_{moyen}}{100}\right)^2 =1,127\).

2. En 2021, le prix de la baguette en France était de 0,90 € et, en 2024, le prix était de 1,02 €.
    a. Quel est le taux d'évolution du prix de la baguette entre 2021 et 2024 ?
    b. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\left(1+\dfrac{t_{moyen}}{100}\right)^3 =1,133\).
    c. En déduire le taux annuel d'évolution moyen du prix sur 3 ans.

3. À vous de jouer ! En 2014, le Smic (salaire minimum de croissance) horaire était de 9,53 €, en 2024 il était de 11,88 €. Quel a été le taux annuel d'évolution moyen du Smic horaire entre 2014 et 2024 ?